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医用高等数学中“凑微分”思想浅析△

首席医学网      2010年12月29日 12:11:42 Wednesday  
 
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作者:安洪庆 孔雨佳 王培承    作者单位:(潍坊医学院公共课教学部数学教研室 潍坊261053)

【摘要】  不定积分的求解一直是高等数学的重点,但由于其方法的灵活性以及结果的不确定性,又一直是高等数学的难点。针对不定积分求解方法的核心思想——“凑微分”,就其技巧、步骤的形式化方面做了相关分析和总结,并给出了一系列行之有效的“凑微分”的形式化步骤和技巧。

【关键词】  不定积分; 凑微分; 换元积分法; 分部积分法; 医用高等数学

 微积分是医用高等数学的基本和主要内容,在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献,正如恩格斯所说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里”[1]。不定积分是微积分中的重要一章,是解决反问题的重要方法,在科学、技术和经济等许多领域中有着重要的应用。不定积分掌握程度的好坏直接决定着对后面定积分、多元函数微积分以及微分方程等章节内容的掌握,亦对后续课程的学习有很大的影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确定性,同学们在学习时往往显得无从下手,下面结合自己在讲授不定积分时的经验,关于不定积分求解方法的学习提几点建议。

  作者在教学之余,曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数,结牛莱,凑微代换分部微元来,定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法,而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法,其核心即——“凑微分”。

  1 换元积分法中的“凑微分”

  换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中,其基本原理是:当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出时,则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ,然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ,即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的关键是第一步:将g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ,这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样,单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示,在讲解过程中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走,并且结合常见的不定积分公式求解,这样同学们掌握起来就比较容易了。

  1.1 “拆”

  遇到一个不定积分题目,首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积,若能,则挨个观察拆分成的函数能否凑微分,找出合适的进行凑微分求解。如:求解不定积分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析:观察到被积函数cosx2x 可以拆分成两个函数的乘积:cosx·12x ,并且12x 可以进行凑微分从而变成dx 。解:〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

  1.2 “靠”

  若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算,则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近,若接近,就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如:求解不定积分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析:通过观察此不定积分不能直接进行拆分,但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近,因此我们可以以此为目标去靠近。解:〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

  1.3 转化

  若一个不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算,又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近,则可以先利用恒等变形等方法进行转化,再根据转化的形式进行相应求解。如:求解不定积分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析:此不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算,又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近。通过观察被积函数1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ,从而逆用通分公式变成12a(1a-x+1a+x) 进行求解。解:〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

  2 分部积分法中的“凑微分”

  分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分,主体内容可以概括为“一套公式、两个步骤、三种类型”:一套分部积分公式即:〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等价于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗两个基本步骤即:① 配微分,即将〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 变形为 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部积分公式求解、化简(可以重复使用)。

  三种解题类型即:① 配微分后直接套公式计算、化简;② 使用两次分部积分公式后移项解方程;③ 直接积分法、换元积分法和分部积分法结合运用。

  分部积分法的关键是步骤①中的配微分,即将f(x) 拆分成uv′。u与v′选择不当会使题目求解越陷越繁琐,例如求解不定积分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 :解法1:选择u=cosx ,v′=x  〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗 =12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入无限循环中)。解法2:选择u=x ,v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解简单明了)。对于u 与v′的选择,我们有以下两个原则:① u 、v′选择要得当,使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原积分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的两个原则,在教学实际中我们总结出一个比较实用的方法:对拆分成乘积的两个函数求导数,若函数类型发生变化则做u,没有发生变化则做v′,全部没有发生变化则任选其一做u 即可。

  如:求解不定积分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析:指数函数ex 与三角函数cosx 求导数后仍然为指数函数与三角函数,函数类型都没有发生变化,则任选其一做u 即可。解1:〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2: 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外,针对某些被积函数只有一个的情况,可以看成其与常数的乘积。如:求解不定积分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被积函数arctanx 可以看成arctanx·1 ,arctanx 求导得11+x2 ,类型由反三角函数形式变成幂函数形式,而1求导得0,仍为幂函数形式不变,因此取u=arctanx ,v′=1 即v=x 。解:〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗  =xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法对于“配微分”的选择来说是比较实用的,并且可以培养同学们的发散思维,但在一定方面亦有其局限性,对于某些题目,容易使同学们产生“歧途亡羊”之感。

  如:求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被积函数x2 求导得2x ,cosx 求导得-sinx ,类型仍是幂函数和三角函数形式,因此应该任取一个做u 即可,但通过下面的求解发现并不是如此。解法1:〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入无限循环)。解法2: 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解简单明了)。为解决此缺陷,我们再给出一个选择u 及v′ 的简便方法(此法在《高等数学》[3]中亦有相应体现):把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三(反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数)”的顺序,前者为u ,后者为v′ 。

  如:求解不定积分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析:被积函数x2cosx 可以看成幂函数x2 与三角函数cosx 的乘积,按照“反对幂指三”顺序取u=x2 ,v′=cosx (具体求解过程即上例解法2)。其实,两种方法各有利弊,第一种方法拓展了学生的发散思维,但对于某些问题不能广泛使用,第二种方法虽然简洁、应用广泛,但是又限制了同学们发散思维的培养,因此我们在教学过程中应该相互结合,互为补充,这样才能既有效解决问题,又培养了学生们的思维能力。

  通过上面的方法,我们几乎可以将不定积分的基本求解形式化的确定下来,在一定程度上减轻了同学们的学习压力。但是,对于不定积分求解步骤、方法形式化的讨论,并不是要把高等数学装扮得冰冷且美丽着,而是要在掌握形式化技巧的基础上深度挖掘“冰冷的美丽”[4]后面“火热的思考”[4],从而达到“淡化形式,注重实质”[5]的目的,真正的使同学们“透过形式主义的美丽,真正领会到微积分的无穷魅力”[4]。

【参考文献】
   1 张顺燕.数学的思想、方法和应用.北京大学出版社,2002.

  2 范应元,安洪庆,孔雨佳.医用高等数学教学中人文推动的模糊综合评价.数理医药学杂志,2008,21(6):760~761.

  3 同济大学应用数学系.高等数学.第5版.高等教育出版社,2002.

  4 张奠宙.微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考.大学数学课程报告论坛论文集,2005.

  5 陈重穆.淡化形式,注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》.数学教育学报,1993,2(2):4~9.

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